Soal Siap KSN Matematika SMP Tahun 2021 Bagian II
Soal KSN-K Matematika SMP 2020
Jika $2^{5n}$ dan $5^{2m}$ adalah faktor dari $2020^{2020}$, maka jumlah digit dari nilai maksimum $m+2n$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 16 \\ (B)\ & 18 \\ (C)\ & 20 \\ (D)\ & 22 \end{align}$
show
Jika $2^{5n}$ dan $5^{2m}$ adalah faktor $2020^{2020}$, maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
2020^{2020}\ &= \left( 4 \right)^{2020} \cdot \left( 5 \right)^{2020} \left( 101 \right)^{2020} \\
&= \left( 2 \right)^{4040} \cdot \left( 5 \right)^{2020} \left( 101 \right)^{2020} \\
\hline
2^{5n} & \leq 2^{4040} \\
5n & \leq 4040 \\
n & \leq \dfrac{4040}{5}=808 \\
\hline
5^{2m} & \leq 5^{2020} \\
2m & \leq 2020 \\
m & \leq \dfrac{2020}{1}=1010
\end{align}$
Nilai $m+2n$ maksimum terjadi saat $n=808$ dan $m=1010$ sehingga nilai maksimumnya adalah $1010+2(808)=2626$. Jumlah digit-digitnya adalah $2+6+2+6=16$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 16$
Soal KSN-K Matematika SMP 2020
Diberikan empat bilangan bulat positif $a, b, c,\ \text{dan}\ d$ yang memenuhi pertaksamaan $a \lt b \lt c \lt d$. Diketahui pula $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}=1$.
Banyaknya pasangan bilangan $(a,b,c,d)$ yang memenuhi permasalahan di atas adalah...$\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 6 \\ (D)\ & 9 \end{align}$
show
Diketahui juga $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}=1$ maka $a \gt 1$, dan karena $a$ bilangan terkecil maka $\dfrac{1}{a}$ adalah bilangan terbesar sehingga berlaku:
$\begin{align} \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a} & \gt 1 \\ \dfrac{4}{a} & \gt 1 \\ a & \lt 4 \\ a &= 2,3 \end{align}$
Untuk $a=2$, maka kita peroleh $2 \lt b \lt c \lt d$ dan:
$\begin{align}
\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = 1 \\
\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = \dfrac{1}{2} \\
\hline
\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b} & \gt \dfrac{1}{2} \\
\dfrac{3}{b} & \gt \dfrac{1}{2} \\
b & \lt 6 \\
b &= 3,4,5
\end{align}$
Untuk $b=3$, maka kita peroleh $2 \lt 3 \lt c \lt d$ dan:
$\begin{align}
\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = \dfrac{1}{2} \\
\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3} \\
\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = \dfrac{1}{6} \\
\hline
\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c} & \gt \dfrac{1}{6} \\
\dfrac{2}{c} & \gt \dfrac{1}{6} \\
c & \lt 12 \\
\hline
\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = \dfrac{1}{6} \\
\dfrac{1}{c} & \lt \dfrac{1}{6} \\
c & \gt 6 \\
c &= 7,8,9,10,11
\end{align}$
- Untuk $c=7$, maka $\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{d} = \dfrac{1}{6}$ kita peroleh $d=42$
- Untuk $c=8$, maka $\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{d} = \dfrac{1}{6}$ kita peroleh $d=24$
- Untuk $c=9$, maka $\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{d} = \dfrac{1}{6}$ kita peroleh $d=18$
- Untuk $c=10$, maka $\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{d} = \dfrac{1}{6}$ kita peroleh $d=15$
- Untuk $c=11$, maka $\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{d} = \dfrac{1}{6}$ kita peroleh $d=\dfrac{66}{5}$ (Tidak Memenuhi) Banyak pasangan $(a,b,c,d)$ adalah $4$.
Untuk $b=4$, maka kita peroleh $2 \lt 4 \lt c \lt d$ dan:
$\begin{align}
\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = \dfrac{1}{2} \\
\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4} \\
\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = \dfrac{1}{4} \\
\hline
\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c} & \gt \dfrac{1}{4} \\
\dfrac{2}{c} & \gt \dfrac{1}{4} \\
c & \lt 8 \\
\hline
\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = \dfrac{1}{4} \\
\dfrac{1}{c} & \lt \dfrac{1}{4} \\
c & \gt 4 \\
c &= 5,6,7
\end{align}$
- Untuk $c=5$, maka $\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{d} = \dfrac{1}{4}$ kita peroleh $d=20$
- Untuk $c=6$, maka $\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{d} = \dfrac{1}{6}$ kita peroleh $d=12$
- Untuk $c=7$, maka $\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{d} = \dfrac{1}{6}$ kita peroleh $d=\dfrac{28}{3}$ (Tidak Memenuhi) Banyak pasangan $(a,b,c,d)$ adalah $2$.
Untuk $b=5$, maka kita peroleh $2 \lt 5 \lt c \lt d$ dan:
$\begin{align}
\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = \dfrac{1}{2} \\
\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{5} \\
\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = \dfrac{3}{10} \\
\hline
\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c} & \gt \dfrac{3}{10} \\
\dfrac{2}{c} & \gt \dfrac{3}{10} \\
3c & \lt 20 \\
\hline
\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = \dfrac{3}{10} \\
\dfrac{1}{c} & \lt \dfrac{3}{10} \\
3c & \gt 10 \\
c &= 6
\end{align}$
Untuk $c=6$, maka $\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{d} = \dfrac{3}{10}$ kita peroleh $d=\dfrac{15}{2}$ (Tidak Memenuhi)
Tidak ada pasangan $(a,b,c,d)$ yang memenuhi.
Untuk $a=3$, maka kita peroleh $3 \lt b \lt c \lt d$ dan:
$\begin{align}
\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = 1 \\
\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = \dfrac{2}{3} \\
\hline
\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b} & \gt \dfrac{2}{3} \\
\dfrac{3}{b} & \gt \dfrac{2}{3} \\
2b & \lt 9 \\
b &= 4
\end{align}$
Untuk $b=4$, maka kita peroleh $3 \lt 4 \lt c \lt d$ dan:
$\begin{align}
\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = \dfrac{2}{3} \\
\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = \dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{4} \\
\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = \dfrac{5}{12} \\
\hline
\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c} & \gt \dfrac{5}{12} \\
\dfrac{2}{c} & \gt \dfrac{5}{12} \\
5c & \lt 24 \\
c & =4 \text{(tidak memenuhi)}
\end{align}$
Tidak ada pasangan $(a,b,c,d)$ yang memenuhi.
Untuk $b=5$, maka kita peroleh $3 \lt 4 \lt c \lt d$ dan:
$\begin{align}
\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = \dfrac{2}{3} \\
\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = \dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{4} \\
\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} & = \dfrac{5}{12} \\
\hline
\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c} & \gt \dfrac{5}{12} \\
\dfrac{2}{c} & \gt \dfrac{5}{12} \\
5c & \lt 24 \\
& \text{tidak memenuhi}
\end{align}$
Tidak ada pasangan $(a,b,c,d)$ yang memenuhi.
Total banyak pasangan $(a,b,c,d)$ adalah $4+2=6$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 6$
Soal KSN-K Matematika SMP 2020
Perhatikan barisan bilangan berikut.
$1, 2, 4, 8, 15, 26, ?, ?, ?, \cdots$
Tiga bilangan selanjutnya berturut-turut adalah...$\begin{align} (A)\ & 37,49,71 \\ (B)\ & 37,61,99 \\ (C)\ & 42,58,74 \\ (D)\ & 42,64,93 \end{align}$
show
Dari pola di atas dapat kita simpulkan:
- Bilangan setelah $26$ adalah $26+11+5=42$,
- Bilangan setelah $42$ adalah $42+16+6=64$,
- Bilangan setelah $64$ adalah $64+22+7=93$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 42,64,93$
Soal KSN-K Matematika SMP 2020
Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ dengan $x_{1} \lt x_{2}$ adalah solusi yang memenuhi persamaan $x^{\left(x^{x} \right)}= \left(x^{x} \right)^{x} $, maka $25x_{1}^{2}+4x_{2}^{2}−10x_{1}x_{2}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 64 \\ (D)\ & 21 \end{align}$
show
Dari persamaan yang diketahui pada soal, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
x^{\left(x^{x} \right)} &= \left(x^{x} \right)^{x} \\
x^{\left(x^{x} \right)} &= x^{x \cdot x} \\
x^{\left(x^{x} \right)} &= x^{x^{2}} \\
\hline
x^{x} &= x^{2}
\end{align}$
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan di atas adalah $x=1$, $x=-1$ atau $x=2$
| $x_{1} \lt x_{2}$ | ||
|---|---|---|
| $x_{1}$ | $x_{2}$ | $25x_{1}^{2}+4x_{2}^{2}−10x_{1}x_{2}$ |
| $-1$ | $1$ | $\begin{align} & 25(-1)^{2}+4(1)^{2}−10(-1)(1) \\ &= 25+4+10 \\ &=39 \end{align}$ |
| $-1$ | $2$ | $\begin{align} & 25(-1)^{2}+4(2)^{2}−10(-1)(2) \\ &= 25+16+20 \\ &=61 \end{align}$ |
| $1$ | $2$ | $\begin{align} & 25(1)^{2}+4(2)^{2}−10(1)(2) \\ &= 25+16-20 \\ &=21 \end{align}$ |
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 21$
Soal di atas sudah kita modifikasi dari soal aslinya, soal aslinya adalah seperti berikut ini dan tidak ada pilihan yang tepat pada soal.
Soal KSN-K Matematika SMP 2020
Diketahui tiga bilangan terurut $(x, y, z)$ dengan $x, y,\ \text{dan}\ z$ adalah bilangan bulat positif yang memenuhi $(3x+y-1)^{y+z}=729$. Jika himpunan selesaiannya adalah $\{ \left(x_{1},y_{1},z_{1} \right),\left(x_{2},y_{2},z_{2} \right), \cdots ,\left(x_{1},y_{1},z_{1} \right)\}$, maka nilai dari $ x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}+y_{1}+$$y_{2}+\cdots+y_{n}+z_{1}+z_{2}+\cdots+z_{n}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 17 \\ (B)\ & 18 \\ (C)\ & 24 \\ (D)\ & 29 \end{align}$
show
Dari persamaan yang diketahui pada soal, untuk $x, y,\ \text{dan}\ z$ adalah bilangan bulat positif dapat kita peroleh:
$\begin{align}
(3x+y-1)^{y+z}&= 729 \\
\hline
(3x+y-1)^{y+z}&= 729^{1} \\
x=729 & \rightarrow y=1,\ z=0 \text{(TM)} \\
(3x+y-1)^{y+z}&= 3^{6} \\
x=1 & \rightarrow y=1,\ z=5 \\
\hline
(3x+y-1)^{y+z}&= 9^{3} \\
x=3 & \rightarrow y=1,\ z=2 \\
\hline
(3x+y-1)^{y+z}&= 27^{2} \\
x=9 & \rightarrow y=1,\ z=1
\end{align}$
Nilai $ x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}+y_{1}+$$y_{2}+\cdots+y_{n}+z_{1}+z_{2}+\cdots+z_{n}$ adalah $ 1+3+9+1+1+1+5+2+1=24$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 24$
Soal KSN-K Matematika SMP 2020
Perhatikan gambar $\bigtriangleup ABC$ berikut.
Diketahui $D$ titik tengah sisi $AC$, $F$ titik tengah sisi $BD$, dan $DE$ sejajar $BC$. Jika $G$ adalah titik potong $AF$ dan $DE$, maka perbandingan $BC:DG$ adalah...$\begin{align} (A)\ & 5 : 3 \\ (B)\ & 5 : 2 \\ (C)\ & 3 : 1 \\ (D)\ & 4 : 1 \end{align}$
show
Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba pakai garis bantu yaitu perpanjangan garis $AF$ yang berpotongan dengan $BC$ di titik $H$. Misalkan $BH=x$, seperti gambar berikut:
Kita perhatikan $\bigtriangleup BFH$ dan $\bigtriangleup FDG$ adalah segitiga yang kongruen karena $\angle BFH =\angle DFG$, $BF=FD$ dan $\angle FBH =\angle FDG$. Sehingga kita peroleh untuk $BH=x$ maka $GD=x$.
Lalu kita perhatikan $\bigtriangleup AGD$ dan $\bigtriangleup AHC$ adalah segitiga yang sebangun karena $\angle GAD =\angle HAC$ dan $\angle GDA =\angle HCA$.
$\begin{align} \dfrac{AD}{AC}\ & = \dfrac{GD}{HC} \\ \dfrac{1}{2}\ & = \dfrac{x}{HC} \\ HC & = 2x \end{align}$
Untuk $HC=2x$ dan $BH=x$ maka $BC=3x$. Perbandingan $BC:DG=3x:x$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 3 : 1$
Soal KSN-K Matematika SMP 2020
Diketahui suatu bilangan terdiri dari $6$ digit. Jika digit terakhirnya sama dengan digit pertama, maka banyak kemungkinan bilangan tersebut adalah...
$\begin{align} (A)\ & 90000 \\ (B)\ & 100000 \\ (C)\ & 900000 \\ (D)\ & 1000000 \end{align}$
show
Bilangan $6$ digit dengan aturan digit terakhirnya sama dengan digit pertama. Bilangan ini disusun oleh $1,2,3,4,5,6,7,8,9,0$ sehingga banyak bilangan yang mungkin adalah:
Banyak susunan bilangan:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|cc}
D_{1} & D_{2} & D_{3} & D_{4} & D_{5} & D_{6} \\
\hline
9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 1 \\
\end{array} $
Banyak kemungkinan bilangan adalah $9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 1=90000$ susunan.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 90000$
Soal KSN-K Matematika SMP 2020
Siswa-siswi sebuah SMP yang menyaksikan pertandingan sepak bola, oleh panitia diberi Nomor Undian Doorprize (NUD) pada kertas yang terdiri atas empat digit. Panitia pertandingan sudah menyiapkan hadiah untuk semua NUD untung, yaitu nomor yang digit ke-empatnya merupakan pengurangan bilangan dua digit pertama oleh bilangan digit ke-tiga. Contohnya $1156 \rightarrow 11 – 5 = 6$ adalah NUD untung. Banyak hadiah yang harus disediakan oleh panitia adalah...
$\begin{align} (A)\ & 42 \\ (B)\ & 44 \\ (C)\ & 45 \\ (D)\ & 46 \end{align}$
show
Nomor yang dikatakan NUD adalah jika bilangan dua digit pertama dikurang digit ke-3 sama dengan digit ke-4. Agar diperoleh nomor NUD maka digit pertama pada nomor itu harus angka $1$. Selain angka $1$ pada digit pertama maka dipastikan tidak akan diperoleh nomor NUD. Misal $2095$ bukan nomor NUD karena $20-9 \neq 5$
| Nomor Undian Doorprize (NUD) | |||
|---|---|---|---|
| Digit ke-1/ke-2 | Digit ke-3 | Digit ke-4 | Banyak NUD |
| $10$ | $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ | $9,8,7,6,5,4,3,2,1$ | $9$ NUD |
| $11$ | $2,3,4,5,6,7,8,9$ | $9,8,7,6,5,4,3,2$ | $8$ NUD |
| $12$ | $3,4,5,6,7,8,9$ | $9,8,7,6,5,4,3$ | $7$ NUD |
| $13$ | $4,5,6,7,8,9$ | $9,8,7,6,5,4$ | $6$ NUD |
| $14$ | $5,6,7,8,9$ | $9,8,7,6,5$ | $5$ NUD |
| $15$ | $6,7,8,9$ | $9,8,7,6$ | $4$ NUD |
| $16$ | $7,8,9$ | $9,8,7$ | $3$ NUD |
| $17$ | $8,9$ | $9,8$ | $2$ NUD |
| $18$ | $9$ | $9$ | $1$ NUD |
Total banyak hadiah yang harus dipersiapkan oleh panitia adalah $9+8+7+\cdots+2+1=45$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 45$
Soal KSN-K Matematika SMP 2020
$A$ adalah himpunan semua bilangan tiga digit yang tidak memuat $0$ dan semua digitnya berbeda. Jika $x,\ y,\ z$ berturut-turut adalah rata-rata, median, dan jangkauan dari semua anggota $A$, maka nilai dari $x-y+z$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 445 \\ (B)\ & 504 \\ (C)\ & 555 \\ (D)\ & 864 \end{align}$
show
Bilangan $A$ adalah himpunan semua bilangan tiga digit yang tidak memuat $0$ dan semua digitnya berbeda.
Bilangan $A$ adalah $123,$ $124,$ $125,$ $\cdots ,$ $985,$ $986,$ $987$.
Banyak bilangan $A$ adalah $9 \times 8 \times 7 =504$ bilangan.
Bilangan $A$ terkecil $123$ dan terbesar $987$, sehingga jangkauan $A$, $z=987-123=864$.
Rata-rata bilangan $A$ adalah:
$\begin{align}
\overline{x} &= \dfrac{123+124+125+\cdots+985+986+987}{504} \\
&= \dfrac{(123+987)+(124+986)+(125+985)+\cdots}{504} \\
&= \dfrac{ (1110)+(1110)+(1110)+\cdots }{504} \\
&= \dfrac{\frac{504}{2}\left(1110 \right )}{504} \\
&= \dfrac{ 1110}{2} \\
&= 555
\end{align}$
Banyak bilangan $A$ sebanyak $504$ bilangan, sehingga median bilangan $A$ adalah jumlah dua bilangan yang paling tengah lalu dibagi dua. Jumlah dua bilangan itu adalah $1110$, kita ikuti pola sewaktu menghitung rata-rata. Sehingga median bilangan $A$ adalah $y=\dfrac{1110}{2}=555$.
Nilai $x-y+z=555-555+864=864$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 864$
Soal KSN-K Matematika SMP 2020
Bilangan $\dfrac{b}{a}$ terbesar dengan $a,b$ positif sedemikian sehingga $\dfrac{5}{a}+20b$ merupakan bilangan kuadrat sempurna yang kurang dari $2020$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 2800 \\ (B)\ & 5500 \\ (C)\ & 6400 \\ (D)\ & 7500 \end{align}$
show
Diketahui bahwa bilangan $\dfrac{5}{a}+20b$ merupakan bilangan kuadrat sempurna. Bentuknya dapat kita ubah menjadi $\dfrac{5}{a}+20b=5 \left( \dfrac{1}{a}+4b \right)$, artinya bilangan kuadrat yang diminta adalah bilangan kuadrat kelipatan $5$.
Bilangan kuadrat kelipatan $5$ adalah $5^{2}=25,$ $10^{2}=100,$ $15^{2}=225,$ $20^{2}=400,$ $25^{2}=625,$ $30^{2}=900,$ $35^{2}=1225,$ $40^{2}=1600,$ dan $45^{2}=2025$ karena yang kita butuhkan yang kurang dari $2020$.
Bilangan kuadrat kelipatan $5$ yang terdekat dan kurang dari $2020$ adalah $40^{2}$ sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\dfrac{5}{a}+20b &= 1600 \\
5 \left( \dfrac{1}{a}+4b \right) &= 1600 \\
\dfrac{1}{a}+4b &= 320 \\
\dfrac{1}{a} &= 320-4b \\
\dfrac{b}{a} &= 320b-4b^{2}
\end{align}$
Dari persamaan di atas nilai $\dfrac{b}{a}$ maksimum dapat kita hitung dengan bantuan rumus $y$ puncak pada fungsi kuadrat, yaitu:
$\begin{align}
\dfrac{b}{a} &= -\dfrac{320^{2}-4(-4)(0)}{4(-4)} \\
&= -\dfrac{102.400-0}{-16} \\
&= 6400
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 6400$
Soal KSN-K Matematika SMP 2020
Jika $a,b$ bilangan real positif dengan $a^{505}+b^{505}=1$, maka nilai minimum dari $a^{2020}+b^{2020}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & \dfrac{1}{2} \\ (C)\ & \dfrac{1}{4} \\ (D)\ & \dfrac{1}{8} \end{align}$
show
Bilangan $a,b$ adalah bilangan real positif sehingga soal dapat kita sederhanakan menjadi "Jika $x,y$ bilangan real positif dengan $x+y=1$, maka nilai minimum dari $x^{4}+y^{4}$ adalah..."
$\begin{align} x^{4}+y^{4}\ & = \left( x^{2}+y^{2} \right)^{2}- 2 \cdot x^{2} \cdot y^{2} \\ & = \left( \left[ x +y \right]^{2}-2xy \right)^{2}- 2 \cdot \left( xy \right)^{2} \\ & = \left( \left[ 1 \right]^{2}-2xy \right)^{2}- 2 \cdot \left( xy \right)^{2} \\ & = \left( 1-2xy \right)^{2}- 2 \cdot \left( xy \right)^{2} \\ & = 1-4xy+4\left( xy \right)^{2}- 2 \cdot \left( xy \right)^{2} \\ & = 2 \cdot \left( xy \right)^{2} -4xy + 1 \end{align}$
Untuk $x+y=1$ maka:
$\begin{align}
xy\ & = x(1-x) \\
& = x-x^{2}
\end{align}$
Nilai $xy$ minimum adalah $xy=-\dfrac{(1)^{2}-4(-1)(0)}{4(-1)}= \dfrac{1}{4}$ (*Nilai minimum pada fungsi kuadrat)
Agar $x^{4}+y^{4}=2 \cdot \left( xy \right)^{2} -4xy + 1$ minimum maka $xy$ juga harus minimum, sehingga nilai minimum $x^{4}+y^{4}$ adalah:
$\begin{align}
x^{4}+y^{4} & = 2 \cdot \left( xy \right)^{2} -4xy + 1 \\
a^{2020}+b^{2020} & = 2 \cdot \left( \dfrac{1}{4} \right)^{2} -4\left( \dfrac{1}{4} \right) + 1 \\
& = 2 \cdot \dfrac{1}{16} - 1 + 1 \\
& = \dfrac{1}{8}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1}{8}$
Soal KSN-K Matematika SMP 2020
Diketahui segi delapan beraturan $ABCDEFGH$ dengan panjang sisinya $2$ cm. Akan dipilih secara acak $3$ titik sudutnya dan digunakan untuk membentuk suatu segitiga yang akan dihitung luas daerahnya. Jika $A$ adalah himpunan semua luas daerah segitiga yang mungkin dan jumlah semua anggota $A$ adalah $\left(a+b\sqrt{2} \right)\ cm^{2}$, maka nilai dari $a+b$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 9 \\ (B)\ & 12 \\ (C)\ & 21 \\ (D)\ & 33 \end{align}$
show
Banyak segitiga yang mungkin terjadi dengan nama yang berbeda pada segidelapan beraturan adalah $C(8,3)=56$
Kita anggap $A$ adalah himpunan segitiga yang bentuk atau luasnya berbeda, sehingga banyak segitiga pada segi delapan ada sebanyak lima. Jika kita gambarkan seperti berikut ini:
- $\left[ ABC \right]=\dfrac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{2}=\sqrt{2} $
- $\left[ ABD \right]=\dfrac{1}{2} \times 2 \times \left( 2 + \sqrt{2} \right)=2+\sqrt{2} $
- $\left[ ABE \right]=\dfrac{1}{2} \times 2 \times \left( 2 + 2\sqrt{2} \right)=2 + 2\sqrt{2} $
- $\left[ ACE \right]=\dfrac{1}{2} \times \left[ \left( 2 + \sqrt{2} \right)^{2}+2 \right]=4 + 2\sqrt{2} $
- $\left[ ACF \right]=\dfrac{1}{2} \times \left( 2 + 2\sqrt{2} \right)\left( 2 + \sqrt{2} \right)=4 + 3\sqrt{2} $
$\begin{align} \left[ A \right]\ & = \sqrt{2}+2+\sqrt{2}+2 + 2\sqrt{2}+ \\ &\ \ \ \ \ \ 4 + 2\sqrt{2}+4 + 3\sqrt{2} \\ & = 12+9\sqrt{2} \\ \left( a+b\sqrt{2} \right) & \equiv 12+9\sqrt{2} \\ \hline & a=12\ \text{dan}\ b=9 \\ \hline & a+b=21 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 21$
Soal KSN-K Matematika SMP 2020
Diketahui persegipanjang $ABCD$ di bidang koordinat kartesius dengan $A$ dan $B$ di sumbu $X$, $D$ di sumbu $Y$, dan $C$ di kuadran $I$. Ada $4$ jenis rotasi yang akan dilakukan terhadap persegipanjang $ABCD:$ $1. R \left(C,-90^{\circ} \right),$ $2. R \left(A, 90^{\circ} \right)$ $3. R \left(C, 0^{\circ} \right),$ $4. R \left(A,-90^{\circ} \right)$ dimana $R \left(C, 90^{\circ} \right)$ berarti rotasi $90^{\circ} $ berlawanan arah jarum jam dengan pusat $C$. Jika $ABCD$ dirotasi berturut-turut dengan urutan $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $1,$ $2,$ $3$ dan diperoleh koordinat akhir $A$ adalah $(38, 47)$, maka keliling persegi panjang $ABCD$ adalah...satuan panjang
$\begin{align} (A)\ & 9 \\ (B)\ & 17 \\ (C)\ & 38 \\ (D)\ & 47 \end{align}$
show
Dari informasi yang diketahui persegipanjang $ABCD$ di bidang koordinat kartesius dengan $A$ dan $B$ di sumbu $X$, $D$ di sumbu $Y$, dan $C$ di kuadran $I$. Jika kita gambarkan hanya pada satu kemungkinan, ilustrasinya seperti berikut ini:
Titik $A \left( 0,0 \right),$ $B \left( x,0 \right),$ $C \left( x,y \right),$ dan $D \left( 0,y \right),$.
Kita analisa transformasi pertama Rotasi $-90^{\circ}$ dengan pusat $C(x,y)$.
- Titik $A \left( 0,0 \right)$ hasilnya $A\left(x-y,x+y \right)$
- Titik $B \left( x,0 \right)$ hasilnya $B\left( x-y,y \right)$
- Titik $C \left( x,y \right)$ tetap
- Titik $D \left( 0,y \right)$ hasilnya $D \left( x,x+y \right)$
Kita analisa transformasi kedua Rotasi $90^{\circ}$ dengan pusat $A\left(x-y,x+y \right)$.
- Titik $A\left(x-y,x+y \right)$ tetap
- Titik $B\left( x-y,y \right)$ hasilnya $B\left( 2x-y,x+y \right)$
- Titik $C \left( x,y \right)$ hasilnya $C \left( 2x-y,x+2y \right)$
- Titik $D \left( x,x+y \right)$ hasilnya $D \left( x-y,x+2y \right)$
Kita analisa transformasi ketiga Rotasi $90^{\circ}$ dengan pusat $C \left( 2x-y,x+2y \right)$.
- Titik $A\left(x-y,x+y \right)$ hasilnya $A\left( 2x,2y \right)$
- Titik $B\left( 2x-y,x+y \right)$ hasilnya $B\left( 2x,x+2y \right)$
- Titik $C \left( 2x-y,x+2y \right)$ tetap
- Titik $D \left( x-y,x+2y \right)$ hasilnya $D \left( 2x-y,2y \right)$
Kita analisa transformasi keempat Rotasi $-90^{\circ}$ dengan pusat $A\left( 2x,2y \right)$ .
- Titik $A\left( 2x,2y \right)$ tetap
- Titik $B\left( 2x,x+2y \right)$ hasilnya $B\left( 3x,2y \right)$
- Titik $C \left( 2x-y,x+2y \right)$ hasilnya $C\left( 3x,3y \right)$
- Titik $D \left( 2x-y,2y \right)$ hasilnya $D \left( 2x,3y \right)$
Jika kita lakukan Rotasi $R_{1234}$ sampai $5$ kali akan kita peroleh hasilnya transformasi kurang lebih seperti berikut ini:
- $A\left( 0,0 \right)$_$\left( 2x,2y \right)$_$\left( 4x,4y \right)$_$\left( 6x,6y \right)$_$\left( 8x,8y \right)$_$\left( 10x,10y \right)$
- $B\left( x,0 \right)$_$\left( 3x,2y \right)$_$\left( 5x,4y \right)$_$\left( 7x,6y \right)$_$\left( 9x,8y \right)$_$\left( 11x,10y \right)$
- $C\left( x,y \right)$_$\left( 3x,3y \right)$_$\left( 5x,5y \right)$_$\left( 7x,7y \right)$_$\left( 9x,9y \right)$_$\left( 11x,11y \right)$
- $D\left( 0,y \right)$_$\left( 2x,3y \right)$_$\left( 4x,5y \right)$_$\left( 6x,7y \right)$_$\left( 8x,9y \right)$_$\left( 10x,11y \right)$
Untuk titik $A\left( 10x,10y \right)$ hasil akhir adalah $A\left( 38,47 \right)$ maka $x=3,8$ dan $y=4,7$. Keliling persegipanjang $ABCD$ adalah $2(x+y)=2(3,8+4,7)=2(8,5)=17$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 17$
Soal KSN-K Matematika SMP 2020
Pada suatu kotak terdapat $40$ bola warna merah dan hijau. Dua buah bola diambil secara acak dan diamati warnanya. Jika peluang bahwa terambil kedua bola berwarna merah adalah $\dfrac{5}{12}$, maka banyaknya bola merah di dalam kotak semula adalah...buah
$\begin{align} (A)\ & 20 \\ (B)\ & 22 \\ (C)\ & 25 \\ (D)\ & 26 \end{align}$
show
Dalam teorema peluang, jika diambil dua bola secara acak dari dalam kotak yang berisi $40$ bola, maka hasil yang mungkin terjadi atau disebut $n(S)=C(40,2)=\dfrac{40 \cdot 39 \cdot 38!}{2! \cdot 38!}=40 \cdot 39$.
Jika kita misalkan banyak bola merah adalah $x$, maka hasil yang diharapkan terjadi terpilih $2$ bola dari $x$ bola merah atau disebut $n(E)$.
$\begin{align}
n(E)\ & = C(x,2) \\
& = \dfrac{x \cdot (x-1) \cdot (x-2)!}{2! \cdot (x-2)!} \\
& =x \cdot (x-1)
\end{align}$
Peluang terambilnya dua bola merah adalah $\dfrac{5}{12}$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
P(E)\ & =\dfrac{n(E)}{n(S)} \\
\dfrac{5}{12} & =\dfrac{x \cdot (x-1)}{40 \cdot 39} \\
5 & =\dfrac{x \cdot (x-1)}{130} \\
650 & =x^{2}-x \\
0 & =x^{2}-x-650 \\
0 & = \left( x-26 \right)\left( x+25 \right) \\
& x=26\ \text{atau}\ x=-25
\end{align}$
Banyak bola merah adalah $26$ bola
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 26$
Soal KSN-K Matematika SMP 2020
Suatu kelas terdiri dari $35$ siswa. Pada saat ulangan matematika terdapat $2$ orang siswa berhalangan, misalnya siswa $A$ dan $B$. Nilai ulangan pada awalnya dicatat hanya dari $33$ siswa dan memiliki rata-rata $80$. Setelah ditambah nilai susulan dua siswa yang berhalangan tersebut, nilai rata-rata kelas menjadi $78$. Jika nilai $A$ dua kali lipat lebih tinggi dibandingkan nilai $B$, maka selisih nilai $A$ dan $B$ adalah
$\begin{align} (A)\ & 15 \\ (B)\ & 20 \\ (C)\ & 30 \\ (D)\ & 55 \end{align}$
show
Nilai ulangan dari $33$ siswa dan rata-rata $80$.
$\begin{align}
\bar{x} &= \dfrac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{33}}{33} \\
80 &= \dfrac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{33}}{33} \\
80 \times 33 &= x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{33} \\
2640 &= x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{33}
\end{align}$
Nilai ulangan dari $35$ siswa dan rata-rata $78$.
$\begin{align}
\bar{x} &= \dfrac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{33}+x_{A}+x_{B}}{35} \\
78 &= \dfrac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{33}+x_{A}+x_{B}}{35} \\
78 \cdot 35 &= x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{33}+x_{A}+x_{B} \\
2730 &= x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{33}+x_{A}+x_{B} \\
2730 &= 2640 +x_{A}+x_{B} \\
90 &= x_{A}+x_{B} \\
\hline
90 &= 2x_{B}+x_{B} \\
90 &= 3x_{B} \\
30 &= x_{B}\ \Rightarrow 60= x_{A} \\
\hline
x_{A}-x_{B} &= 30
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 30$
Sumber : https://www.defantri.com/2020/09/soal-pembahasan-ksn-k-2020-matematika.html