Permutasi dan Kombinasi - Materi SMK Kelas XII

Permutasi dan Kombinasi - Materi SMK Kelas XII ~ Pertemuan kemarin kita mempelajari kaidah pencacahan dengan metode aturan pengisian tempat. Nah…sekarang kita lanjutkan materinya.

Pertemuan daring ke 2 kita akan mempelajari permutasi dan kombinasi.
Sebelum mempelajari permutasi dan kombinasi, kita kenalkan terlebih dahulu mengenai Notasi Faktorial.

Faktorial disimbolkan dengan “!”. Misalkan n adalah bilangan asli, maka n! dinamakan n faktorial. Bagaimanakah faktorial itu? Kalian tinggal berhitung mundur saja kemudian dikalikan. Perhatikan contoh berikut:


2. Permutasi 
a. Permutasi r unsur dari n unsur yang berbeda 
Permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda adalah susunan dari r unsur itu dalam suatu urutan (artinya AB dihitung 1 dan BA dihitung 1) 

Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia dinyatakan dengan notasi :
Perhatikan contoh :
1. Hitunglah nilai dari :
2. Tentukan banyak susunan 3 huruf tidak berulang dari huruf-huruf A,B,C,D,E,dan F
Jawab: 
Dengan metode permutasi: 

Coba kita cek dengan metode aturan pengisian tempat yang kemarin kita pelajari daring 1
Karena tidak boleh berulang maka 6 x 5 x 4 =120 cara (sama)

b. Permutasi yang memuat unsur yang sama
Jika dalam n unsur terdapat unsur yang sama, misal unsur yang sama itu k,l,m maka permutasi ditulis dengan:
Contoh: 
Berapakah banyaknya permutasi yang dapat disusun 3 huruf dari kata “MATEMATIKA”
Jawab:
n = 10, r = 3, k = banyaknya huruf  M = 2, l = banyaknya huruf A = 3, m = banyaknya huruf T = 2

c. Permutasi siklis
Permutasi siklis dari n unsur yang berbeda memperhitungkan tempat kedudukan unsur di lingkaran terhadap unsur lainnya sebab n unsur tersebut ditempatkan secara melingkar. Banyak permutasi siklis dari n unsur dirumuskan:
Dalam soal ditandai dengan pemakaian kata melingkar atau bundar.

Contoh:
Dalam suatu pertemuan, ada 8 peserta akan menempati 8 kursi yang mengelilingi meja bundar. Berapa banyak susunan yang mungkin terjadi?
Jawab:
= (8 – 1 )! = 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040 susunan

d. Permutasi berulang
Banyak permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (dengan tiap unsur yang tersedia boleh ditulis berulang) adalah sebagai berikut:
Contoh: 
Perhatikan soal latihan nomor 1. a pada daring 1 kemarin
I. Dari angka 1, 2, 3, 4, dan 5 hendak disusun suatu bilangan yang terdiri atas 4 angka. Berapa banyak bilangan yang dapat disusun, jika:
a. Angka-angka boleh berulang
Jawab:
Jika kita selesaikan sesuai materi 1 kemarin adalah seperti berikut:
Jadi ada 5 x 5 x 5 x 5 = 625 cara
Kita cek dengan cara permutasi berulang

3. Kombinasi 
Kombinasi adalah suatu permutasi yang tidak memperhatikan urutan (artinya AB dan BA dianggap sama)
a. Kombinasi r unsur dari n unsur yang berbeda

2. Tentukan banyaknya kombinasi 2 warna campuran dari warna-warna merah, kuning, hijau, dan putih!
Jawab:
Banyak warna tersedia (n) = 4, dicampur 2 warna (r = 2)
3. Berapa banyak cara memilih 4 orang dari 9 orang, jika:
a. Tanpa syarat apapun
Jawab:










b. Salah seorang harus selalu terpilih
Jawab: 
Dari 9 orang akan dipilih 4 orang, tetapi seorang harus selalu terpilih, sehingga hanya bisa memilih 3 orang lagi dari 8 orang, sehingga banyak cara pemilihan adalah:
c. Kombinasi r unsur dari n unsur dengan beberapa unsur yang sama
Misalkan 4 bola akan diambil acak dari kotak yang berisi 4 bola merah, 3 bola putih, dan 2 bola hijau. Berapa cara pengambilan jika empat bola yang  terdiri dari 2 bola merah, 1 bola putih, dan 1 bola hijau. Untuk menyelesaikan perlu beberapa tahap yaitu:
1. Menentukan cara memilih 2 bola merah dari 4 bola merah tersedia


Jadi untuk menentukan Kombinasi r unsur dari n unsur dengan beberapa unsur yang sama adalah:

BAGAIMANA CARA  MEMBEDAKAN KEJADIAN PERMUTASI DAN KOMBINASI?

Perhatikan contoh berikut:
Missal dari 3 orang A,B,dan C akan dipilih ketua, sekretaris dan bendahara. Banyak cara pemilihan yang mungkin terjadi merupakan kejadian permutasi 

Jika 3 orang tersebut A,B, dan C akan dibuat satu kelompok belajar, maka banyak cara membentuk kelompok belajar merupakan masalah kombinasi, karena cara membentuknya tidak memperhatikan urutan. Keanggotaan ABC, ACB,BAC,BCA,CAB, dan CBA dianggap sama yaitu satu kelompok, sehingga hanya ada 1 kelompok belajar saja yang terdiri dari 3 siswa. ACB = BAC = BCA = CAB =  = CBA.
Biasanya soal permutasi terkait dengan jabatan.

Latihan soal :

Selesaikanlah :




2. Dari 10 calon pengurus OSIS akan dipilih ketua,sekretaris dan bendahara. Tentukan banyak cara memilih pengurus OSIS.

3. Dari angka-angka 4,5,6,7,8,9 akan disusun bilangan yang terdiri atas 3 angka yang berbeda. Berapa banyaknya susunan bilangan yang terjadi?

4. Seorang pengusaha sablon akan membuat warna baru yang terdiri dari 3 warna cat dasar. Jika tersedia 6 cat dasar, berapa banyaknya cat baru yang dapat dibuat?

5. Berapa tim bola basket yang dapat dibentuk dari 11 pemain? ( satu tim basket terdiri 5 pemain)

No comments for "Permutasi dan Kombinasi - Materi SMK Kelas XII"